Goniometrie
In de elektronica techniek wordt veel gebruik gemaakt van wiskunde, in het bijzonder van de goniometrie of de hoekmeetkunde. Je komt regelmatig uitdrukkingen tegen als sinus, cosinus enz. Waar gaat het dan over?
Dit hoofdstuk behandelt de belangrijkste wiskundige begrippen.
Sinus en cosinus, faseverschuiving
Omgekeerde goniometrische functies
We beginnen met een rechthoekige driehoek. De hoekpunten worden aangeduid met hoofdletters, de zijden met de kleine letter van het hoekpunt dat er tegenover staat.
De hoeken worden meestal aangeduid met griekse letters. Mijn tekenprogramma heeft die niet dus ik doe het met de uitgeschreven naam.
Nog een paar naamconventies: De zijden a en b heten de rechthoekszijden. Zijde c, tegenover de rechte hoek heet de hypotenusa. De zijde a is de overstaande zijde voor hoek alfa. Zijde b is de aanliggende rechthoekszijde van hoek alfa.
Fig. 1. Rechthoekige driehoek. De hoek bij C is 90°
We kunnen de hoek alfa op verschillende manieren uitdrukken in de verhouding van lijnstukken. Die manieren zijn per definitie als volgt bepaald:
Sinus sin(alfa) = a/c overstaande rechthoeks zijde gedeeld door hyputenusa.
Cosinus cos(alfa) = b/c aanliggende rechthoeks zijde gedeeld door de hypotenusa.
Tangens tan(alfa) = a/b overstaande zijde gedeeld door aanliggende zijde.
Cotangens cot(alfa) = b/a = 1/Tangens(alfa)
Secans sec(alfa) = c/b = 1/Cosinus(alfa)
Cosecans csc(alfa) = c/a = 1/Sinus(alfa)
De sinus en cosinus zijn veruit de belangrijkste in de elektrotechniek, de tangens wordt zo af en toe gebruikt, de andere 3 vrijwel nooit.
et woord sinus is latijn voor boog, bocht, welving. Maar dat verband zie je pas als je een grafische voorstelling maakt van de sinus van een veranderende hoek.
Fig. 2. Sinus van een veranderende hoek.
We laten de pijl r linksom draaien vanaf 0. De pijlpunt beschrijft een cirkel met diameter 2 * r.
De hoogte van de pijlpunt, het lijnstukje a, is grafisch uitgezet tegen de hoek. Er ontstaat een zuivere sinus.
Merk op dat bij verder draaien dezelfde figuur weer verschijnt. De sinus en de andere goniofuncties zijn repeterende functies.
Opm: Het centrum van de cirkel ligt op het nulpunt van het coordinaten systeem. Naar links is negatief, evenals naar beneden.
Sinus en cosinus, faseverschuiving.
Hieronder is er een pijl I bijgetekend die 90° gedraaid is ten opzichte van de pijl uit fig. 2 die nu U heet.
Met de congruentie eigenschappen van driehoeken kan bewezen worden dat de hoogte van de I-pijl gelijk is aan de cosinus van hoek alfa. cos(hoek) = sin(hoek-90°)
De grafische voorstelling laat zien dat de cosinus er net eender uitziet als de sinus, maar 90 graden verschoven.
In de elektrotechniek komt het vaak voor dat we een sinusvormig verlopende spanning hebben, en dat de stroom ook sinusvormig is maar niet gelijk op gaat met de spanning. We noemen dat faseverschuiving.
Fig. 3. Sinus en cosinus, I ijlt 90° vóór op U. Dit is de situatie bij een zuivere capaciteit (condensator)
Afhankelijk van het elektrische circuit waarin dit optreedt kan de faseverschuiving ook andere waardes (hoeken) aannemen.
Fig. 4. Sinus en cosinus. I ijlt 90° na op U. Dit is de situatie bij een zuivere zelfinductie (spoel).
Hieronder de grafische voorstelling van de 6 goniometrische verhoudingen uit het begin van dit hoofdstuk.
Fig 5. Exel sheet met de 6 gonio functies. Klik op de grafiek voor het excel sheet.
Merk op dat alleen de sinus en de cosinus min-of-meer continue functies zijn. De vier andere hebben een discontinuiteit. Neem bijv. de tangens. Vanaf 0 zie je de waarde toenemen, bij 45 is 'ie 1, daarvoorbij gaat het steeds steiler en bij het naderen van 90 gaat de waarde naar + oneindig, en voorbij 90 komt de waarde vanuit - oneindig weer terug.
Dat past bij fig. 1. Als de hoek alfa naar 90 graden gaat zal het lijnstuk b nul worden. Tan(alfa) = a/b. Delen door een heel klein getal levert iets heel groots op en delen door nul is verboden omdat het een oneindig groot getal oplevert. Soortgelijke redeneringen gelden voor alle 4 deze functies. In het excel sheet heb ik die waardes overgeslagen en daardoor zie je de bijna vertikale lijnen van het omslaan van + naar - veel.
Omgekeerde goniometrische functies
Als je de sinus, cosinus of tangens van een hoek weet en je wilt de hoek zelf weten dan kun je de arcSinus, arcCosinus of de arcTangent functie gebruiken. In excel heten ze ASIN, ACOS en ATAN. Op een wetenschappelijke zakrenmachine heten ze meestal sin-1, cos-1 en tan-1. Dat is eigenlijk een onjuiste aanduiding, want iets-1 betekent normaliter 1/iets, en dat dat is iets heel anders.
Deze functies geven de hoek altijd in het gebied van +90° tot -90° , d.w.z. in de rechterhelft van de cirkel van fig. 2. (-90° is hetzelfde als +270° als het over hoeken gaat) De excel functie ATAN2 geeft de mogelijkheid om de driehoeks zijden a en b afzonderlijk op te geven, en 1 van die twee mag nul zijn. Het resultaat kan elke hoek tussen 0° en 360° zijn.
In het dagelijks leven meten we hoeken meestal in graden. 90° is dan een rechte hoek. De wiskundige gereedschappen werken echter bijna altijd met hoeken die in radialen gemeten worden. Een hoek van 1 radiaal ontstaat als je de staal r van een cirkel krom afpast op de omtrek.
Fig. 5. Een hoek van 1 radiaal.
Omdat de omtrek van een cirkel gelijk is aan 2 * pi * de straal gaan er dus 2*pi radialen in een hele cirkel.
Het omrekenen van radialen naar graden en andersom gaat als volgt:
Een hoek in radialen = hoek in graden * pi / 180.
Een hoek in graden = hoek in radialen * 180 / pi.
Het getal pi = 3.14159........ Het heeft oneindig veel cijfers achter de komma, en die reeks herhaalt zich niet.